푸앵카레가 들려주는 위상수학 이야기

추천사
책머리에
길라잡이
푸앵카레를 소개합니다.
첫 번째 수업 _ 위상과 위상기하
두 번째 수업 _ 위상공간
세 번째 수업 _ 위상동형
네 번째 수업 _ 위상기하의 적용 Ⅰ
다섯 번째 수업 _ 위상기하의 적용 Ⅱ
여섯 번째 수업 _ 위상기하의 적용 Ⅲ

■■■ 세상을 바라볼 때 그 본질을 더 정확히 꿰뚫어 볼 수 있게 해주는
푸앵카레의‘위상수학’이야기

우리가 안다고 곧이 곧대로 믿어왔던 것을 조금 다른 시각으로 비틀어보거나 정반대의 논리로 뒤집어 생각해 보는 ‘역발상’의 사고가 점차 강조되고 있는 요즘이다. 이처럼 다양해지고 있는 사고를 수학이라는 학문에 대입시켜 본다면 어떨까?
지금까지 우리는 수학을 철저히 참인 내용들로만 이루어진, 때문에 의심의 여지가 없는 학문이라 여겨 왔다. 그러나 위상기하의 관점에서 비롯된 위상수학은 이와는 다른 관점을 제시한다. 푸앵카레가 들려주는 위상수학은 지금까지 배웠던 수학과는 다른 개념의 수학적 틀로서, 비교적 간단하지만 수학의 본질에 보다 쉽게 접근해갈 수 있는 새로운 관점을 보여주는 분야라 할 수 있다.
불변의 법칙이라고 믿어 의심치 않았던 개념들을 다른 시각으로 전환해 바라보게 하고, 지금까지 한번도 접해보지 못했던 위상, 위상공간, 위상동형 등의 조금은 낯선 수학적 개념과 이론을 실생활에서 어렵지 않게 찾아볼 수 있도록 제시하고 있다. 이 책을 통해 새로운 위상수학적 관점을 알아두는 것은 현대를 살아가는 데 있어 꼭 필요한, 매우 가치 있고 실용적인 일이 될 것이다.

■■■ 역발상의 수학을 통해 재미와 자유로움을 배운다!

집합론의 시조인 칸토어는 “수학의 본질은 그 자유에 있다”라는 말을 남겼다. 이 말은 본래 주어진 수학적 틀을 잘 이해만 한다면 그 안에서 무한정 자유로울 수 있는 수학의 본질적 속성을 가리킨 말이다. 그리고 그런 면에서《푸앵카레가 들려주는 위상수학 이야기》는 칸토어의 이론을 가장 잘 뒷받침하고 있는 책이라 할 수 있다. 즉, 일상생활에서 어떤 대상을 바라볼 때 단 한가지의 시각만 존재하지 않듯이, 수학에 있어서도 충분히 다양한 관점과 시각이 존재한다는 것을 보여줌으로서 수학적 재미와 자유로움을 극대화시키고 있는 것이다.
이 책에서 푸앵카레 선생님은 실생활에서 우리가 쉽게 접할 수 있는 다양한 물체나 널리 알려져 있는 퀴즈 문제들을 이용하여 처음 접하는 위상기하의 세계를 쉽고 재미있게 설명한다. 이를 통해 수학은 어느 하나의 틀에 고정된 것이 아니라는 것, 때문에 보다 다양하고 기발한 분야로 응용되고 발전될 수 있으며, 더 나아가 우리가 살고 있는 세상을 새롭고 유연한 관점에서 바라보고 이해할 수 있게 해준다는 것을 알려주고 있다.

■ 이 책의 구성 및 장점

― 우리가 기존에 알고 있던 유클리드기하와는 다른 위상기하를 서로 비교해 보고 어떤 차이점을 갖는지 이해함으로써 수학이라는 학문에서도 충분히 다양한 관점이 존재함을 깨닫고, 자칫 범하기 쉬운 고정 관념을 탈피할 수 있도록 도와줍니다.

― 우리가 몰랐던 새로운 분야를 알게 해줌으로서 지적 호기심을 충족시켜주고, 조금만 시각을 달리하면 여타의 다른 분야에도 큰 도움이 될 수 있다는 것을 일깨워 줍니다.

― 공, 빨대, 도넛, 머그잔, 벨트, 지도 등 우리가 실생활에서 수없이 많이 접하는 물건들을 가지고 알기 쉽게 위상기하의 내용을 증명함으로써 실생활에서 활용되고 있는 수학의 힘을 느낄 수 있게 합니다.

― 수업 정리 : 각 수업마다 중요한 수학 용어를 따로 정리해 두어 학생들 스스로 개념을 확실하게 정리할 수 있습니다.

[추천사]

수학자라는 거인의 어깨 위에서
보다 멀리, 보다 넓게 바라보는 수학의 세계!

학생들이 수학을 어려워하는 이유 중의 하나는 ‘추상성’이 강한 수학적 사고의 특성과 구체적인 것을 좋아하는 학생방식의 차이 때문이다, 이런 차이를 좁히기 위해서 수학의 추상성을 희석시키고 수학 개념과 원리의 설명에 구체성을 부여하여 쉽게 받아들이도록 하는 것이 필요한데, <수학자가 들려주는 수학 이야기> 시리즈는 수학 교과서의 내용을 친숙하고 생동감 있게 재구성함으로써 수학을 접근하기 만만한 교과목으로 변모시켜 놓았다. 또한 중간중간에 곁들여진 수학자들의 에피소드는 자칫 무료해지기 쉬운 수학 공부에 윤활유 역할을 해 주고 있다.
《수학 콘서트》저자, 홍익대학교 수학교육과 교수 박경미

우리가 알고 있는 기하의 세계에서는 어떤 삼각형이든 그 내각의 합이 언제나 180°이고, 어느 두 점을 연결하는 선분과 곡선은 분명히 서로 다른 것으로 구별하고 있다. 그리고 지금까지 이러한 기하는 단 하나만 존재하는 것이라 굳게 믿어 왔다. 하지만 그것이 고정관념에 불과하다면? 삼각형의 내각의 합은 꼭 180°가 아니어도 되고, 두 점을 연결하는 선이 직선이든 곡선이든 서로 같은 것이라 여기는, 신기하고도 재미있는 기하의 세계가 있다는 것을 이 책을 통해 발견하게 될 것이다.
서울교육대학교 수학교육과 교수 박만구

접시에 담긴 링 도넛과 공 모양의 도넛을 손잡이가 하나 달린 머그잔의 우유와 함께 먹을 때를 잠시 생각해 보자. 분명 접시와 공 모양의 도넛은 서로 완전히 다른 모양이라 생각될 것이고, 링 도넛과 손잡이가 하나 달린 머그잔 역시 서로 완전히 다른 것이라 여겨질 것이다. 그런데 각각의 이 두 가지의 모양을 같은 것으로 보는 또 다른 기하의 세계가 있다면 어떨까? 《푸앵카레가 들려주는 위상수학 이야기》를 통해 이것이 결코 이상하거나 잘못된 생각이 아니라는 것을 깨닫게 되기 바란다.
서울교육대학교 수학교육과 교수 오영열