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어렵게만 생각했던 증명의 본질을 생각하게 해 주며 연역적 증명과 귀납적 증명을 다양한 예를 통하여 이해할 수 있도록 구성한 책. 우선 증명이 무엇인지 알고 귀납적 증명과 연역적 증명에 대해서 공부해 본 후 수열이 무엇인지 알고 예를 통하여 수열의 귀납적 정의를 알아본다. 이때 다양한 문제 해결을 통하여 이해하기 쉽도록 하였다.
파스칼의 삼각형을 통해서 여러 가지 수열을 찾아보고 여기에서 찾아진 규칙들을 수학적 귀납법으로 증명해본다. 파스칼의 삼각형 안에서는 피보나치수열도 찾을 수 있는데, 이를 통해서 수학적 귀납법과 어떤 관련이 있는지 공부해 본다. 마지막으로 수학적 귀납법은 간단한 증명 방법 중 하나이지만 증명하려는 명제가 수학적으로 명백하게 정의내릴 수 없는 경우 오류를 범할 수 있다는 점도 분명히 알려주고 있다.
이 책을 읽으면서 ‘수학적 귀납법’에 대해 수학을 알기 시작한 순간부터 학습이 계속되어져 오던 것과 초등학교의 수학, 중학교의 수학, 그리고 고등학교에 이르기 까지 연계성을 가지고 이해할 수 있다. 또한 일곱 시간의 수업을 통해서 고등학교 수학 수업 때 배웠던 이해하기 까다롭던 ‘수학적 귀납법’을 재미있고 편안한 마음으로 이해할 수 있을 것이며 수학의 강력한 무기인 증명을 습득하는 기회가 될 것이다.
김정하
■ 저자 소개
김정하
인천교육대학교 대학원 졸업 석사학위 취득하고 일본 문부성 초청 교원으로 일본의 츠쿠바 대학 수학교육과 석사과정에서 18개월 파견 연수하였다. 현재 수학과문화연구소 연구원으로 서 이화여자대학교 박사과정 밟으며 인천 건지 초등학교에서 학생들을 가르치고 있다. 경향신문 2007년 <예술 속의 수학>을 공동 연재하였으며 현재 2008년에는 <생활 속의 수학>을 공동 연재 중이다.
추천사
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길라잡이
파스칼을 소개합니다.
첫 번째 수업 – 귀납, 연역, 증명
두 번째 수업 – 수열의 귀납적 정의
세 번째 수업 – 귀납적 정의로 표현된 수열의 일반항 구하기
네 번째 수업 – 수학적 귀납법
다섯 번째 수업 – 파스칼의 삼각형과 수학적 귀납법
여섯 번째 수업 – 피보나치수열과 수학적 귀납법
일곱 번째 수업 – 수학적 귀납법의 효용과 그 한계
파스칼이 들려주는
수학적 귀납법 이야기
수학과 철학의 ‘천재 이방인’파스칼과 함께하는 빈틈없는 논리 속 조화로운 증명의 세계!
라카토스가 말한 ‘사고실험’이란?
말을 배우기 시작할 때부터 이미 증명의 달인?
파스칼의 삼각형, 피보나치수열, 수학적 귀납법으로 이어지는 증명의 미학美學!
진짜 증명은 한 치의 빈틈도 없는 딱딱함과 부드러움이
서로 모순되지 않고 조화를 이루고 있지.”
-오가와 요코《박사가 사랑한 수식》中에서
자연수를 세기 시작하던 순간부터 이미 수열을 하고 있었던 것이라면?
우리가 설득하기 위해서 수많은 방법을 동원했던 게 바로 정당화라면?
저자 김정하 선생님은 우리가 이미 수학을 충분히 알고 있고 활용하고 있음에도 불구하고 수학이 현실과 거리를 느끼는 태도를 지적한다. ‘수열’이라고 하면 고등학교 수학에서야 들어보았다고 말하는 초등학교 선생님들에게 우리는 이미 ‘일이삼사…’ 수 세기를 할 때부터 이미 수열을 알고 있었다고 말한다. 증명의 경우도 마찬가지이다. 우리는 다른 사람을 설득하기 위해서 많은 방법을 동원하는데 이것이 바로 정당화이고 증명의 기초가 되는 부분이다. 교과서에서 나오는 근사한 수식으로 표현하지는 않았지만 우리는 살아가면서 수많은 증명을 하고 있는 것이다.
말을 시작하는 순간부터 이미 수열과 증명을 활용하고 있었다는 사실이 놀랍지 않은가?
결국 수학은 사람들이 생각하는 만큼 어렵고 추상적이지만은 않다. 어떤 특별한 사람들만의 언어도 아닌 것이다. 우리가 어려서부터 알고 있는 것들, 그리고 세상을 살아가면서 필요로 하게 될 것들을 잘 정리해 둔 학문이기도 하다. ‘수학적 귀납법’ 자체가 쉬운 주제는 아니지만 이런 태도를 가지고 있는 저자의 풍부한 예시와 설명으로 폭넓게 수학적 귀납법에 대해 이해할 수 있을 것이다. 수학적 귀납법에서 이해가 되지 않는 복잡한 점화식 등의 수학적 기호가 나오지만 이해가 되지 않는다면 건너뛰어도 좋다. 전체적으로 수학적 귀납법이 무엇인지 이해하는 데 초점을 두고 지금 이해하지 못하는 부분은 중학생이 되고 고등학생이 되면 차근차근 보다 더 깊이 이해하게 될 것이다.
세상 진리를 수학으로 꿰뚫어 보는 맛,
그 맛을 경험시켜 주는‘수학적 귀납법’이야기!
모든 사람은 죽는다.
소크라테스는 사람이다.
그러므로 소크라테스는 죽는다.
《파스칼이 들려주는 수학적 귀납법 이야기》는 어렵게만 생각했던 증명의 본질을 생각하게 해 주며 연역적 증명과 귀납적 증명을 다양한 예를 통하여 이해할 수 있도록 구성하였다.
우선 증명이 무엇인지 알고 귀납적 증명과 연역적 증명에 대해서 공부해 본 후 수열이 무엇인지 알고 예를 통하여 수열의 귀납적 정의를 알아본다. 이때 다양한 문제 해결을 통하여 이해하기 쉽도록 하였다. 파스칼의 삼각형을 통해서 여러 가지 수열을 찾아보고 여기에서 찾아진 규칙들을 수학적 귀납법으로 증명해본다. 파스칼의 삼각형 안에서는 피보나치수열도 찾을 수 있는데, 이를 통해서 수학적 귀납법과 어떤 관련이 있는지 공부해 본다. 마지막으로 수학적 귀납법은 간단한 증명 방법 중 하나이지만 증명하려는 명제가 수학적으로 명백하게 정의내릴 수 없는 경우 오류를 범할 수 있다는 점도 분명히 알려주고 있다.
이 책을 읽으면서 ‘수학적 귀납법’에 대해 수학을 알기 시작한 순간부터 학습이 계속되어져 오던 것과 초등학교의 수학, 중학교의 수학, 그리고 고등학교에 이르기 까지 연계성을 가지고 이해할 수 있다. 또한 일곱 시간의 수업을 통해서 고등학교 수학 수업 때 배웠던 이해하기 까다롭던 ‘수학적 귀납법’을 재미있고 편안한 마음으로 이해할 수 있을 것이며 수학의 강력한 무기인 증명을 습득하는 기회가 될 것이다.
이 책의 구성 및 장점
1. 지금까지 우리가 생활 속에서 익혀오던 수열과 증명에 관한 지식들을 하나의 계통으로 연결할 수 있는 연결고리를 제공하면서 예와 함께 제시하고 있어 보다 자연스럽게 이해할 수 있도록 구성되어 있습니다.
2. 초등학생과 중학생들이 수업 시간에 배운 규칙 찾기와 도형에 관한 지식들을 하나로 연결하여 수열과 수학적 귀납법으로 안내할 수 있는 수학적 자료가 담겨져 있습니다. 초등학생이나 중학생 수준에서 이해하기 어려운 식이 나올 수도 있습니다. 이해하기 어려울 때는 살짝 건너뛰는 센스가 필요합니다.
3. 고등학생에게 수학적 귀납법의 증명 방법을 단순히 연습하는 것이 아니라 그동안 배운 것들을 계통적으로 이해하면서 보다 깊고 자연스럽게 수학적 귀납법을 이해할 수 있도록 도와줍니다.
– 수업 정리: 각 수업마다 중요한 수학 용어를 따로 정리해 두어 학생들 스스로 개념을 확실하게 정리할 수 있다.