오일러가 들려주는 무한급수 이야기

최은미

이화여자대학교 수학과를 졸업하였다. 대수학을 전공하여 석사 학위를 받았고, 미국 TUFTS 대학교에서 수학 박사 학위를 받았다. OREGON 주립 대학과 INDIANA 주립 대학의 방문 교수로 근무했으며, 현재 한남대학교 수학과 교수로 재직 중이다.

순수 수학 연구뿐만 아니라 청소년 수학 교육에도 많은 관심이 있어서, 《수학을 빛낸 여성들》《행복한 교과서, 수학자를 만나다》《생활 속의 수학 이야기》등의 집필에 참여했다.

추천사
책머리에
길라잡이
오일러를 소개합니다.

첫 번째 수업 _ 무한개의 양수를 더해도 무한대가 안될 수 있다?
두 번째 수업 _ 무한수열과 무한급수, 수렴과 발산
세 번째 수업 _ 무한등비급수
네 번째 수업 _ 일반항 판정법과 헷갈리는 조화급수
다섯 번째 수업 _ 무한소수
여섯 번째 수업 _ 등비급수는 기하급수이다
일곱 번째 수업 _ 여러 급수들
여덟 번째 수업 _ 급수의 응용
아홉 번재 수업 _ 기하급수의 진화와 제논의 역설

■■■ 위대한 수학자와의 만남을 통해 수학의 참맛을 느껴 볼 수 있는
오일러의 ‘무한급수’이야기

하나 묻자. 우주의 팽창은 무한한가, 유한한가. 블랙홀의 수축은, 우리가 사는 지구는 무한한가, 유한한가. 항상 유한은 유한에 머물고 무한은 무한에 치닫는가? 그 값을 정확한 수 데이터로 얻는 것은 불가능한가? 무한은 유한을 향해 뻗어갈지 모른다. 아니면 유한이 무한을 향해 쉼 없이 나아갈지도 모른다. 이도 저도 아니라면 무한은 무한을 향해 나아가는가? 그런데 유한 없는 무한이 존재할까? 유한은 무한의 과거형인가, 무한을 낳는 현재형인가. 무한과 유한의 임계점에 살고 있는 우리로서는 이 모든 게 의문투성이다.
그러나 이 책은 무한의 세계를 낯설게 하거나 두렵게 하지 않는다. 오히려 2500년의 찬란한 수학을 여행하면서 그 매력을 밝히고 있다. 예를 들어 인류가 오랫동안 풀지 못했던 제논의 역설에 해답을 제시한다. 이는, 무한급수의 매력이 무한을 급수하여 그 값을 나타내는 데 있음을 보여 준다. 더불어 그 값은 무한의 귀착점이 아닌 새로운 출발점이 된다. 무한은 이러한 매력을 무한히 수렴하며 또한 발산한다.
등차·등비·조화수열, 등차·등비·조화급수로 반짝반짝 빛나는 무한급수의 세계는 경이로운 프랙탈의 아름다움으로까지 확장된다. 이로써 수가 단순히 기호에 갇힌 사변적 대상이 아님을 다시 한 번 깨닫게 해 준다. 수의 아름다움, 무한의 무한 아름다움에 우리 모두 빠져보자. 그래서 의문투성이였던 무한의 세계를 보다 더 깊이 이해하고 수학의 흥미를 느껴 보자. 이 책을 읽음으로써 오히려 더 커진 무한급수의 매력에 흠뻑 빠지게 된다.

■■■ 거북이가 영웅 아킬레스를 이기다? 나는 화살은 멈춰 있는 것이다?
오, 오일러, 제논 좀 말려줘!

우리는 어쩌면 출구도 모른 채 동굴에서 사는지 모른다. 동굴을 벗어난 적 없는 우리, 유한한 우리의 감각과 인식은 오래전에 퇴화했을지 모른다. 동굴 밖으로 나간다는 것은 위험천만하다. 지금까지 경험하지 못한 무한의 세계를 만나는 일이기 때문이다. 낯섦이 두렵게 하며 머뭇거리게 한다.
그러나《오일러가 들려주는 무한급수 이야기》는 이런 무한의 극한까지 이르게 한다. 무한을 경험하려는 것이 무모할 수도 있겠지만, 오일러는 그것이 기우였음을 깨닫게 해 준다. 수렴, 발산, 무한수열, 무한급수 등 무한의 수학적 개념으로 이를 명증한다. 또한 이 책에서는 무한의 극한과 합의 계산, 급수 이론은 물론 프랙탈의 아름다움을 다양한 예를 들어 친절히 소개한다. 특히 아킬레스와 거북이의 달리기, 활 쏘는 흑기사 이야기 등은 우리에게 수학의 즐거움과 더불어 수학적 아이디어와 재밌는 발상을 선물한다.

■ 추천사

수학자라는 거인의 어깨 위에서
보다 멀리, 보다 넓게 바라보는 수학의 세계!

학생들이 수학을 어려워하는 이유 중의 하나는 ‘추상성’이 강한 수학적 사고의 특성과 구체적인 것을 좋아하는 학생방식의 차이 때문이다, 이런 차이를 좁히기 위해서 수학의 추상성을 희석시키고 수학 개념과 원리의 설명에 구체성을 부여하여 쉽게 받아들이도록 하는 것이 필요한데, <수학자들이 들려주는 수학 이야기> 시리즈는 수학 교과서의 내용을 친숙하고 생동감 있게 재구성함으로써 수학을 접근하기 만만한 교과목으로 변모시켜 놓았다. 또한 중간중간에 곁들여진 수학자들의 에피소드는 자칫 무료해지기 쉬운 수학 공부에 윤활유 역할을 해 주고 있다.

《수학 콘서트》저자, 홍익대학교 수학교육과 교수 박경미

고등학교 수학 과정에서 많은 학생이 어려움을 겪는다. 무한에 관한 개념 부족이 한 원인으로 작용하기 때문이 아닐까 한다. 무한의 극한, 무한 합의 계산에서 무한이 아닌 유한의 값이 나올 수도 있기 때문이다. 위대한 수학자 오일러는 바로 이런 무한급수의 알쏭달쏭한 점을 하나하나 친절히 설명한다. 초·중학생들에게는 물론 어려운 내용일 수도 있다. 그러나 이 책을 천천히 곱씹어 읽는다면 아주 쉽게 무한급수의 내용을 이해할 수 있을 것이다.

대전　동산고등학교 교사 이학박사 신세순

이 책은 수학을 배우는 학생뿐만 아니라 일반인에게도 필요하다. 수학은 그저 어렵다는 편견을 허물기에 충분할 정도로, 모든 내용을 쉽게 그리고 재미있게 풀어서 설명하기 때문이다. 특별히 무한이라는 어려운 개념을 다양한 예시로써 이해를 돕고 있다. 따라서 이 책은 중학교 학생들에게도 참 좋은 교육이 될 것이다.

대전 용운중학교 교사 이선복