로바체프스키가 들려주는 비유클리드 기하학 이야기

송정화

이화여자대학교 수학과를 졸업하고 동 대학원 수학교육학과에서 석사와 박사 학위를 받았다. 중학교 수학교사, 교원그룹 연구원, 한국교육과정평가원 위촉연구원을 거쳐 지금은 경인교육대학교와 덕성여자대학교에서 예비 수학교사를 가르치고 있다. 저서로 『로바체프스키가 들려주는 비유클리드 기하학 이야기』, 『아폴로니우스가 들려주는 이차곡선 이야기(1~2)』. 『즐깨감 스토리텔링 서술형 수학(4~6학년)』 등이 있다.

추천사
책머리에
길라잡이
로바체프스키를 소개합니다.

첫 번째 수업 _ 유클리드 기하학이 뭐지요?
두 번째 수업 _ 평행선! 네가 뭔데……
세 번째 수업 _ 평행선이 하나? 없다? 무수히 많다? – 감추어진 진실
네 번째 수업 _ 두 점을 최단 거리로 잇는 선이 항상 직선은 아니다?
다섯 번째 수업 _ 곡면에는 어떤 것들이 있나요?
여섯 번째 수업 _ 곡선에서 구부러진 정도를 어떻게 나타내지요?
일곱 번째 수업 _ 곡면의 곡률이 비유클리드 기하학을 살렸다?
여덟 번째 수업 _ 쌍곡 기하학은 유클리드 기하학과 어떻게 달라요?
아홉 번째 수업 _ 구면 기하학은 유클리드 기하학과 어떻게 달라요?

우리는 아직 하나가 되어본 적은 없지만 둘이 되어본 적도 없습니다.
-김남조 <평행선> 中
2000여 년 간 절대 진리라고 믿어왔던 유클리드 기하학에 정면으로 반박하며 새로운 기하학의 세계를 보여준 사람이 있었다. 그의 이름은 바로 로바체프스키!

유클리드 원론으로 일컫는 유클리드 기하학은 2000년 동안 아무 의심 없이 수학계를 지배해왔었다. 그 힘이 가히 절대적인 법과 같다고 할 수 있겠다. 그 누구도 그 이론이나 방법에 이의를 제기하지 않았다. 하지만 시간이 지나면서 몇몇 사람들은 이 유클리드 기하학의 일부 내용, 바로 5번째 공준인 평행선 공준에 대해 의문을 품기 시작한다. 그 대표적인 사람이 가우스와 로바체프스키, 그리고 볼리아이이다. 가우스의 표현에 따르면, 자신은 야만인의 울부짖는 소리가 두려워 평행성 공준에 대한 의문을 제기하지 않았다고 한다. 그러나 로바체프스키와 볼리아이는 과감하게 발표했고 사람들의 멸시와 비난에도 불구하고 연구에 매진한 끝에, 비유클리드 기하학의 세계를 발견하게 된다.
비유클리드 기하학은 비단 수학사에서의 획기적인 발견만은 아니다. 2000년 동안 확고한 진리로 굳혀졌던 유클리드 기하학이 무너지면서 수학계뿐만 아니라 철학이나 타 학문에서도 큰 변화를 맞이한다. 우주에는 절대적인 진리가 존재하고, 그 절대적인 진리 중 하나가 바로 유클리드 기하학이 지배하는 수학이라고 보았는데. 그런 수학에서 모순점이 발견되었으니 사람들은 혼란을 겪기 시작한 것이다. ‘과연 절대적인 진리라는 것이 존재하느냐’는 원초적인 물음까지 의심을 품게 되었고, 결국 ‘절대적인 지식이란 존재하지 않는다’는 철학관이 생겨나게 되었다.
이 책은 비유클리드 기하학이 탄생하게 된 배경과 수학사적 과정을 에피소드 등을 곁들여 다양하게 보여준다. 뿐만 아니라 로바체프스키의 비유클리드 기하학과 관련된 많은 사례들을 실생활과 접목시켜 수학 문제 해결에 재미를 느끼고, 쉽게 응용할 수 있는 힘을 기를 수 있도록 구성하였다.

■■■세상 진리를 수학으로 꿰뚫어 보는 맛,
그 맛을 경험시켜 주는‘비유클리드 기하학’이야기!
《로바체프스키가 들려주는 비유클리드 기하학 이야기》는 그리스의 기하학, 유클리드 원론에 관한 내용으로부터 시작하여, 비유클리드 기하학이 나오게 된 배경과 함께, 비유클리드 기하학의 대표라고 할 수 있는 쌍곡기하학과 구면기하학의 특성들을 로바체프스키가 직접 학생들에게 들려주는 방식으로 전개된다. 로바체프스키는 최근에 발명된 어려운 비유클리드 기하학의 내용을 학생들이 이해하기 쉽게 설명해준다.
비록 비유클리드 기하학의 내용을 학교 수학에서는 다루지는 않지만, 우리가 배운 수학과는 다른 관점에서 전개되는 수학이 있고, 그 체계의 의미를 깨닫게 되면서 다른 차원의 기하학을 배울 수 있다. 또한 로바체프스키가 비유클리드 기하학을 발견하게 된 배경을 통해 수학의 철학적 의미까지 되새겨 볼 수 있게 될 것이다.

■ 이 책의 구성 및 장점
– 초ㆍ중학교 학생들에게는 결코 만만치 않은 비유클리드 기하학에 대하여 수학사적 에피소드를 적절히 곁들여 보다 쉽고 재미있게 접근할 수 있게 해 준다.

– 일반인들에게도 비유클리드 기하학 이야기가 담고 있는 수학사적 의미를 되새기게 하며, 수학 에서 비유클리드 기하학의 발견과 증명 과정, 그 과정에 담겨 있는 수학적 의미를 간접적으로 경험하게 함으로써 학교 수학에서 다루지 않았던 기하학의 세계에 접근해 볼 수 있는 기회를 준다.

– 수업 정리: 각 수업마다 중요한 수학 용어를 따로 정리해 두어 학생들 스스로 개념을 확실하게 정리할 수 있다.